Ne. Resp. do konce roku 2012 by odpověď zněla ano, protože v tehdejším znění ZDPH, § 94 (pokud se dobře pamatuji) byla zakotvena povinnost registrace, pokud osobě povinné k dani (což je i pronajímatel) byla poskytnuta služba osobou neusazenou v tuzemsku s místem plnění v tuzemsku.
Ale od r. 2013 toto již naštěstí neplatí a v zákoně je v § 6h v takovém případě pouze povinnost registrace jako tzv. identifikované osoby.

Takže pokud Vám osoba neusazená v tuzemsku vystaví fakturu (může to být booking nebo právě airbnb) měl byste se registrovat jako identifikovaná osoba na finančním úřadě.
Když bych měl zjednodušeně napsat co by to znamenalo, tak byste se ve vztahu k tuzemsku choval nadále jako neplátce (tj. vystavoval byste faktury bez DPH, nemohl byste si DPH z přijatých tuzemských faktur nárokovat), ale ve vztahu k zahraničí byste se naopak choval jako plátce. Tj. plátci z jiného členského státu by Vám doklady vystavovali bez DPH, to byste odvedl Vy.
Musel byste podávat přiznání k DPH, kde byste uvedl pouze tato přeshraniční plnění. Pokud byste naopak Vy poskytoval službu, která není od DPH osvobozena (např. ubytování) osobě povinné k dani z jiného členského státu, musel byste podávat i souhrnné hlášení. Naštěstí byste nemusel podávat kontrolní hlášení.

V jiné diskusi tu ale zaznělo, že údajně airbnb vystavuje faktury s českým DPH, aniž by uváděl české DIČ. Odvádí jej tedy airbnb. Což si ale nejsem jist, zda je správně. Ale já osobně tu fakturu neviděl, nemohu se tedy k tomu vyjádřit.

S placením sociálního a zdravotního pojištění to nemá nic společného, tam jde pouze o to, zda svou činnost zařadíte pod par. 7 (živnost) nebo pod par. 9 (pronájem) ZDP. O tom tu byla dost divoká diskuse, nechci ji zase otevírat :)